Câu đố: con chim ruồi

Chim ruồi có thể bay đứng ở một chỗ lúc hút mật, đập cánh và không cần đậu vào đâu cả.

Con chim ruồi nhỏ nhất có khối lượng khoảng 2 g.
Câu đố: đánh giá tần số đập cánh của con chim ruồi nhỏ nhất lúc bay đứng một chỗ.

Đáp án của GS Đàm Thanh Sơn:
OK, đây là đáp án. Rất tiếc tôi chưa có thời gian xem kỹ lời giải của các bạn, nhưng có vẻ là phần lớn các bạn đều đi đúng hướng.
Tôi dùng phương pháp thứ nguyên để đánh giá. Gọi kích thước của con chim là $l$ . Trong phép gần đúng này ta không quan tâm đến hình dạng của con chim, coi như nó là một cục các chiều đại khái như nhau (ví dụ, coi con chim là hình lập phương). Nếu giả sử mật độ của con chim là $\rho$ , khối lượng của chim là $m$ , thì $l =(m/\rho)^{1/3}$ . Trong phép gần đúng này, $l$ cũng là kích thước của cánh con chim.
Lực đẩy trung bình $F$ do con chim vẫy cánh phụ thuộc vào khối lượng riêng của không khí $\rho_{\rm air}$ , kích thước cánh $l$ , và tần số cánh vẫy $\omega$ . $\rho_{\rm air}$ đo bằng g cm^-3, $l$ đo bằng cm, còn $\omega$ đo bằng s^-1. Lực $F$ thì đo bằng g cm s^-2 (lực = khối lượng × gia tốc). Chỉ có một cách lập ra một biểu thức có thứ nguyên của lực từ $\rho_{\rm air}$ , $l$ và $\omega$ , đó là
$F \sim \rho_{\rm air} l^4 \omega^2$ .
Cân bằng lực này với trọng lực $gm = g\rho l^3$ , ta tìm được
$\omega = C \sqrt{\displaystyle{\frac g l}} \sqrt{\displaystyle{\frac\rho{\rho_{\rm air}}}}$
trong đó $C$ là một hằng số, cỡ bằng 1, mà ta không thể tìm được bằng phương pháp thứ nguyên. Chú ý rằng $\sqrt{g/l}$ là tần số dao động của một con lắc có độ dài bằng $l$ . Như vậy tần số vỗ cánh của con chim khoảng bằng $\sqrt{\rho/\rho_{\rm air}}$ lần tần số dao động của con lắc.
Bây giờ ta tính bằng số: nếu khối lượng con chim là 2 g, mật độ con chim bằng mật độ của nước 1 g/cm³, thì $l\approx$ 1.25 cm. Mật độ không khí cỡ bằng 1.25 mg/cm³. Vậy thì cả hai biểu thức trong căn đều khoảng 800, nếu đặt C=1 thì tần số đâp cánh là 800 s^-1.
Tần số này hơi cao quá, kết quả không chính xác bằng lời giải của bác ntzung. Ta “cheat” một tí. Tần số này chắc là radian/s, không phải là Hertz (một vòng 1 giây, tức là $2\pi$ /s). Ví dụ tần số dao động con lắc đúng ra phải là $(1/2\pi)\sqrt{g/l}$ . Như vậy tần số đập cánh phải là
$f =\displaystyle{\frac \omega{2\pi}}= \displaystyle{\frac C{2\pi}} \sqrt{\displaystyle{\frac g l}} \sqrt{\displaystyle{\frac\rho{\rho_{\rm air}}}}$
Bây giờ mà cho C=1 thì tần số bằng 130 Hz. Kết quả bây giờ khá gần với kết quả thật (80 Hz)!
Mặc dù phương pháp thứ nguyên này không cho phép ta xác đinh chính xác hằng số C, nhưng nó cho ta sự phụ thuộc của tần số đập cánh vào khối lượng của con chim (giả thiết là các tỷ lệ giữa các bộ phận của con chim không thay đổi). Vì $l\sim m^{1/3}$ , nên
$f \sim 1/m^{1/6}$
Nếu con chim nặng lên 64 lần thì tần số đập cánh giảm đi 2 lần. Biết rằng con chim ruồi nặng 2 g đập cánh 80 lần một giây, ta có thể tính được là một người nặng 60 kg, nếu đập cánh như con chim (và nếu tỷ lệ kích thước giữa cánh và thân cũng như của con chim) thì phải đập 14 lần một giây mới lơ lửng được trong không khí.

Tim

Monday, November 15, 2010

Blog Dam Than Son: Quiz about Humming Bird

Câu đố: con chim ruồi

No comments:

Post a Comment